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Wärmestrom durch eine Wandkonstruktion

Grafische Darstellung des Wärmeflusses an einer einschichtigen Wand und Formel Der Wärmestrom durch eine ebene Wand ist den Wärmeleitfähigkeiten, der Wandfläche und dem Temperaturgefälle proportional. Zur Wanddicke verhält es sich umgekehrt proportional. Der Temperaturverlauf ist bei konstantem λ in der Wand geradlinig abnehmend.

           A
 Φ = λ --- Δϑ
           s

        dQ
 Φ = ----
        dt

Φ = Wärmestrom in [W]
λ = Wärmeleitfähigkeit in [W/mK]
A = Fläche in [m2]
Δϑ = Temeraturdifferenz in [K]
Q = Wärmemenge in [J oder Ws]
s = Wandstärke in [m]
t = Zeit in [s]

Beispiel
Eine 200 m2 große Gasbetonwand mit 800 kg/m3 mit λ = 0,28 W/mK ist 240 mm dick. Welcher Wärmestrom geht durch eine Wand, wenn die Oberflächentemperatur t1 = 20ºC, und t2 = -7ºC betragen?
An welcher Stelle x in der Wand ist t0 = 0ºC?

      A
Φ = λ --- (ϑ1 - ϑ2)
      s
                200 m2
= 0,28 W/mK x --------- x (293 - 266)K = 6300 W   (1)
                0,24 m
                λ
x = (ϑ1 - ϑ0) ---- A
                Q
                   0,28 W/mK
x = (293-273)K x ------------ x 200 m2 = 0,18 m     (2)
                    6300 W

Der ermittelte Wärmestrom besagt nichts über den Wärmehaushalt aus, wenn sich die Oberflächentemperaturen änderen, zum Beispiel bei einer Temperaturabsenkung über die Nacht oder durch Sonneneinstrahlung. [4]
In der nachfolgenden Betrachtung werden die Schwachstellen dieser Berechnung dargestellt.
In der Skizze wird der theoretische Temperaturverlauf bei einer ungedämmten und gedämmten Außenwand mit dem innern und äußeren Wärmeübergangskoeffizienten durch Konvektion (nur zur Vervollständigung) gezeigt.

Temperaturverlauf bei einer Außenwand

In der Praxis weichen jedoch die Oberflächentemperaturen an einer gedämmten Fassade von den theoretischen Werten ab. Zum Zeitpunkt der nachfolgenden Infrarotaufnahme wurde eine Lufttemperatur von -5ºC gemessen und die gedämmte Fassade hatte eine Oberflächentemperatur von ca.  -13ºC. Die Messungen erfolgten am 24.10.2003 in der Zeit von 7.45-8.10 Uhr in Leipzig-Lindenau.

Infrarotaufnahme einer gedämmten Fassade

Die Temperatur an der inneren Wandoberfläche betrug 22ºC, damit ergibt sich eine Temperaturdifferenz (Δϑ) von 35 K, obwohl die äußere Lufttemperatur 8 K höher war.
Die starke Abkühlung der gedämmten Fassade über die nächtlichen Stunden ist eine Folge der fehlenden Wärmespeicherung der dünnen Putzschicht und der Wärmestrahlung des festen Körpers. Siehe hier auch den Beitrag Oberflächentemperatur an der Außenwand.
Nur an Wandflächen, die durch die Sonne beschienen werden, steigt die Oberflächentemperatur am Tag stärker an.

Da bei diesem Beispiel die äußere Lufttemperatur -5ºC betrugt, könnte die weniger warme Fassadenoberfläche (-13ºC) sogar noch über die Konvektion erwärmt worden sein. Bei dieser Fassade haben wird zwei Wärmeströme, einmal von innen nach außen gerichtet und einen kleineren von außen. Ohne diese zusätzliche Wärmezuführung von außen, währe die äußere Oberflächentemperatur sicherlich noch niedriger. Wie groß dieser Wert ist, ist rein spekulativ und dürfte zwischen den gemessenen -13ºC und den -32,5ºC (Teilausschnitt des klaren Himmels auf dem Infrarotbild) liegen.

Die folgende Berechnung zeigt die Problematik der Formel. Zur Vereinfachung wird für λ= 0,04 W/mK bei 6 cm Dämmstoffstärke verwendet, der massive Wandabschnitt soll hier vernachlässigt werden, da sich nur unwesentliche Änderungen am Ergebnis ergeben. Die innere Oberflächentemperatur liegt bei 22ºC und die äußere Oberflächentemperatur müsste größer als die Außentemperatur von -5ºC sein. Zur Berechnung werden die -5ºC eingesetzt.

       A
Q = λ --- (ϑ1 - ϑ2)
       s
              1 m2
= 0,04 W/mK x --------- x (295 - 268)K = 18 W   (3)
              0,06 m

Die Oberflächentemperatur liegt jedoch bei -13ºC.

      A
Q = λ --- (ϑ1 - ϑ2)
      s
              1 m2
= 0,04 W/mK x --------- x (295 - 260)K = 23,3 W   (4)
              0,06 m

Damit ergibt sich bei dieser wärmegedämmten Fassade nach dieser Berechnungsmethode ein theoretische höherer Wärmestrom von circa 30%.
Ursache für den falschen Rechenwert ist die unbekannte Größe des Strahlungsaustausches mit der Umgebung. Durch die mangelnde Wärmespeicherfähigkeit der dünnen Putzoberfläche stellt sich an der Oberfläche schneller das Wärmegleichgewicht zwischen den strahlenden Körpern ein.

Ein Wärmefluss erfolgt vom energiereicheren zum energieärmeren System und das ist in diesem Fall die Fassadenoberfläche und nicht die Außenluft. Bei einer massiven Wand ist der Wärmestrom nach außen gerichtet (Bild A), bei der äußeren Wärmedämmung bis zur äußeren Wandoberfläche und ein Wärmestrom von der wärmen Luft zu dieser Wandoberfläche (Bild B). Kann die äußere Wetterschutzschutzschicht zum Beispiel bei einer Kerndämmung genügend Wärme speichern (Bild C), so kommt es nicht zu dieser starken Abkühlung der Oberflächentemperatur unterhalb der Temperatur der Außenluft. Bis auf wenige extreme Wetterbedingungen hat die oben genannte Formel zur Berechnung der Wärmestromdichte so ihre Gültigkeit.

Bild A
Wärmestrom durch eine massive Wand
Wärmestrom durch eine massive Wand
Bild B
Wärmestrom durch eine massive Wand mit Außendämmung
Wärmestrom durch Außenwand mit äußerer Wärmedämmung
Bild C
Wärmestrom durch eine massive Wand mit Kerndämmung
Wärmestrom durch Außenwand mit Kerndämmung

Noch entscheidender ist der Einfluss durch die Größe des λ-Wertes Die Wärmeleitfähigkeit eines Stoffes ist auf die thermische Molekularbewegung zurückzuführen. Sie wird vor allem durch zwischenmolekulare Kräfte vermittelt. Die Werte werden experimentell im Labor ermittelt. Bei porösen und porigen Stoffen, wie sie am Baukörper Anwendung finden, beeinflussen die in den Poren eingeschlossenen Medien Luft, Wasserdampf oder Wasser die Wärmleitfähigkeit entscheidend. Zwei Körper aus dem gleichen Material können dieselbe Rohdichte und dasselbe Porenvolumen aufweisen und dennoch verschieden in der Leistung der Wärmedämmung sein. [3] Vergleicht man zum Beispiel feuchten Sand mit λ = 1,1 W/mK und trocken Sand mit λ = 0,33 W/mK [1], so wird der Unterschied deutlich. Bei Mineralwolle verdoppelt sich die Wärmeleitfähigkeit bereits bei geringer Durchfeuchtung, wie es im folgenden Bild erkennbar ist. Ausführlicher wird diese Problematik im Beitrag "Die Rolle der Feuchtigkeit in der Außenwand in Bezug auf den Wärmehaushalt eines Gebäudes." behandelt.

Veränderung der Wärmeleitfähigkeit bei Feuchte

In der folgenden Berechnung soll die Außenfassade mit mineralischer Wärmedämmung gedämmt sein. Temperaturdifferenz beträgt 27 K und λ = 0,04 W/mK mit 6 cm Stärke, der massive Wandabschnitt wird vernachlässigt. In der Berechnung (5) hat die mineralische Dämmung eine Feuchte von ca. 2% und der λ-Wert beträgt = 0,08 W/mK

       A
Q = λ --- (t1 - t2)
       s
              1 m2
= 0,04 W/mK x --------- x (22 -(-5))K = 18 W   (3)
              0,06 m
        A
Q = λ --- (t1 - t2)
        s
               1 m2
= 0,08 W/mK x --------- x (22 -(-5))K = 36 W   (5)
              0,06 m

Der Wärmestrom hat sich bereits bei einem geringen Feuchteanteil von 2 % verdoppelt. Dieser Sachverhalt liegt sehr oft beim gedämmten Dach vor, wo über Fugen genügend Feuchte in die Dämmung gelangt. Nur dass sich hier bis mehre Zentimeter dicke Eisschichten auf der Unterseite der Unterspannbahn bilden oder im Extermfall das Kondenswasser durch die abgehängte Gipskartonplatte tropft. Mehrfach entnommene mineralische Dämmung konnte wie ein Schwamm ausgedrückt werden. Die Durchfeuchtung lag um das Vielfache des oben angenommenen Feuchteanteils von 2%. Der errechnete theoretisch gute Dämmwert kann so in der Praxis nur in Ausnahmefällen erreicht werden. Dass die Durchfeuchtung mineralischer Dämmstoffe allgemein ein Problem darstellt, zeigt die Entwicklung der feuchteadaptiven Dampfbremse mit variablem Diffusionswiderstand, die das Schadensrisiko mindern soll.

Zum Vergleich wird ein massives Mauerwerk betrachtet, hier soll λ = 0,81 W/mK (Ziegel (1800) und Kalkzementputz) bei einer Wandstärke 0,40 m betragen. Es steht kein λ-Wert für feuchtes Mauerwerk zur Verfügung, sodass der Wert für feuchten Sand mit 1,1 W/mK in der Berechnung (7) verwendet wird.

        A
Q = λ --- (t1 - t2)
        s
              1 m2
= 0,81 W/mK x --------- x (22 -(-5))K = 54 W   (6)
              0,40 m
       A
Q = λ --- (t1 - t2)
       s
              1 m2
= 1,10 W/mK x --------- x (22 -(-5))K = 74 W   (7)
              0,40 m

Das Ergebnis ergibt eine Differenz von zirka 40%. Dieser große Streubereich ergibt damit auch nur ein unzufriedenstellendes Ergebnis. Bei Mauerwerk liegt keine durchgehende gleiche Feuchte über den gesamten Wandquerschnitt vor. Daher lässt sich hier auch keine genaue Größe für den λ-Wert für feuchtes Mauerwerk festlegen. Der verwendete Wert in der Beispielrechnung könnte eher noch geringer sein.
Dass Feuchtigkeit im massiven Mauerwerk nicht zwangsläufig zum höheren Energiefluss führt, zeigen die Untersuchungen von der Eidgenössischen-Material-Prüfanstalt (EMPA)1953, die 5 Jahre lang eine äußerst korrekte Temperatur- und Energiemessung sowie die Erfassung der Feuchtigkeitsveränderungen vornahmen. Dabei wurde festgestellt, dass im Mauerwerk die Feuchtigkeit im Sommer zu und im Winter abnimmt. Mit der Austrocknung verschlechterte sich der Wärmedämmwert um 30%. [2]

Zum Abschluss wird der Fall betrachtet, wo an einer mineralischen Wärmedämmung die beiden ungünstigen Situationen vorliegen. Die mineralische Dämmung ist durchfeuchtet und Oberflächentemperatur beträgt -13ºC bei einer Lufttemperatur von -5ºC und einer inneren Oberflächentemperatur von 22ºC.

          A
Q = λ --- (ϑ1 - ϑ2)
          s
                    1 m2
= 0,08 W/mK x --------- x (295 - 260)K = 47 W   (8)
                    0,06 m

Zusammenfassung:
Von den jeweiligen Größen zur Berechnung des Wärmestroms lässt sich nur der Wandquerschnitt sicher bestimmen. Die Wärmeleitfähigkeit λ gilt für den trockenen Zustand des Baustoffs. Ebenso treten erhebliche Differenzen auf, wenn eine nicht korrekte Temperaturdifferenz für die Berechnung eingesetzt wird, wie es bei dem genannten praktischen Beispiel mit der Wärmedämmung der Fall ist. Für die gleiche wärmegedämmte Außenwand ergibt sich rechnerisch ein Wärmestrom zwischen 18 bis 47 W (Formel 3 und 8), eine Differenz von 160% und damit ein vollständig unbrauchbares Ergebnis. Dagegen hat eine massive Wand (Formel 6 und 7) "nur" eine Differenz von 40%.
Die Berechnung des Wärmestroms liefert keine hinreichend genauen Werte.
Ursprünglich wurden diese Berechnungen zur energetischen Abschätzung verwendet, zum Beispiel für die Auslegung der Leistung einer Heizungsanlage. Mit wärmegedämmten Fassaden fließen in die Berechnung kleine λ-Werte, die einer großen Beeinflussung durch Feuchte unterliegen. Nach Fourier ist der im Stoff geleitete Wärmestrom Q dem Temperaturgefälle dt/dx und der Wandfläche A senkrecht zum Wärmestrom proportional. Da die äußere Oberflächentemperatur unterhalb der äußeren Lufttemperatur liegt, kann diese Berechnung zur energetischen Beurteilung einer wärmegedämmten Fassade beziehungsweise einer Bauteilkonstruktion, wo die Oberflächentemperatur unterhalb der Lufttemperatur absinkt, nicht verwendet werden.

Um auch für Wandkonstruktionen, die theoretisch einen kleinen Wärmestrom haben sollen, zu aussagefähigen Ergebnissen zu kommen, sollten entsprechende Messergebnisse in der Praxis erfasst werden, die eine hinreichende energetische Beurteilung zulassen.

Auf die genannten ungenauen Ausgangswerte beruht auch die Berechnung des Wärmedurchgangskoeffizienten (U-Wert), worauf sich die Energieeinsparverordnung (EnEV) stützt.

Quelle:
[1] Günter Meyer, Erich Schiffner; Technische Thermodynamik 1983, Fachbuchverlag Leipzig S. 365
[2] Energieverbrauchsanalysen von Hochbauten (Bossert/Nagel Januar 1980) aus Deutsche Bauzeitung 9/1982 S. 58-62 (siehe Die Rolle der Feuchtigkeit in der Außenwand in Bezug auf den Wärmehaushalt eines Gebäudes)
[3] Eichler, Arndt; Bautechnischer Wärme- und Feuchteschutz 1989; S. 24
[4] Weinmann, Kurt; Handbuch Bautenschutz Bd.2, Bauphysik und Bauchemie, export verlag 1992


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